{"componentChunkName":"component---src-templates-blog-post-js","path":"/the-little-schemer-summary-9/","result":{"data":{"site":{"siteMetadata":{"title":"星雨之夜"}},"markdownRemark":{"id":"7557622f-0e59-5f2d-8f42-9796d3c96b4a","excerpt":"自定义函数 (looking a lat) 定义：在一个 lat 中查找有没有 a，但按照如下规律： 假设 a 是 caviar，lat 是 (6 2 4 caviar 5 7 3)，那么列表的第 1 个元素是 6，第 6 个元素是 7，第 7 个元素是 3，第 3 个元素是 4，第 4 个元素是 caviar…","html":"

自定义函数

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(looking a lat)

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定义：在一个 lat 中查找有没有 a，但按照如下规律：

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假设 a 是 caviar，lat 是 (6 2 4 caviar 5 7 3)，那么列表的第 1 个元素是 6，第 6 个元素是 7，第 7 个元素是 3，第 3 个元素是 4，第 4 个元素是 caviar，它不是数字了，与 a 相同，那么函数结果就是 #t。

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实现：

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(define looking\n  (lambda (a lat)\n    (keep-looking a (pick 1 lat) lat)))
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(define keep-looking\n  (lambda (a sorn lat)\n    (cond\n      ((number? sorn)\n        (keep-looking a (pick sorn lat) lat))\n      (else (eq? sorn a)))))
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sorn 代表 symbol or number。

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对比之前所学的递归，可以发现这里的 keep-looking 并没有对 lat 的某部分进行递归调用。我们把这样的递归称之为“非一般性”递归。那么这样的递归还有什么特点呢？

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继续假设 a 还是 caviar，但 lat 变成 (7 2 4 7 5 6 3)，可以看到查询进程永远不会停下来。我们把 looking 这样的函数称为部分函数（Patial Function），以前所接触的那些函数都叫全函数（Total Function）。

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(eternity x)

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这里定义了一个最简单的部分函数 eternity，它并未完成任何目标，只是传入参数 x，不停递归调用。

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(define eternity\n  (lambda (x)\n    (eternity x)))
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(shift pair)

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定义：参数 pair 的第一个元素也是 pair，将这个 pair 的第二个元素移进参数 pair 的第二个元素中，以此构建一个新的 pair。

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实现：

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(define shift\n  (lambda (pair)\n    (build (first (first pair))\n           (build (second (first pair))\n                  (second pair)))))
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(align pora)

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align 和 keep-looking 一样，在第二个条件中，(shift pora) 改变了 align 的参数，它不一定是 pora 的一部分，无法保证能够接近最终目标。其实这是违反了第七诫。

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(define align\n  (lambda (pora)\n    (cond\n      ((atom? pora) pora)\n      ((a-pair? (first pora))\n        (align (shift pora)))\n      (else (build (first pora)\n                   (align (second pora)))))))
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(length* pora)

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定义：计算 pora 中的原子个数。

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实现：

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(define length*\n  (lambda (pora)\n    (cond\n      ((atom? pora) 1)\n      (else\n        (plus (length* (first pora))\n              (length* (second pora)))))))
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(shuffle pora)

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类似于 align，用 revpair 替代 shift。

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(define shuffle\n  (lambda (pora)\n    (cond\n      ((atom? pora) pora)\n      ((a-pair? (first pora))\n        (shuffle (revpair pora)))\n      (else (build (first pora)\n                   (shuffle (second pora)))))))
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假设 pora 是 ((a b) (c d))，那么 (shuffle pora) 递归不会停止，所以它是一个部分函数。

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(A n m)

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定义：参考阿克曼函数。

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实现：

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(define A\n  (lambda (n m)\n    (cond\n      ((zero? n) (add1 m))\n      ((zero? m) (A (sub1 n) 1))\n      (else (A (sub1 n)\n               (A n (sub1 m)))))))
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这是一个全函数，但是不是所有值都能轻易计算出来，比如 (A 4 3)。

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停机问题

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经历了这么多全函数和部分函数的讨论，我们设计一个函数，用来判断某些函数：针对每个参数，是否返回一个值。形式如下：

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(define will-stop?\n  (lambda (f)\n    ...))
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它总是返回 #t 或者 #f，所以是一个全函数。接下来代入几个函数，逐个分析他们是不是会 stop？函数的参数都用空列表来代替，这样最简单。

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  1. \n

    length

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    (length (quote ())) 是 0，这时 will-stop? length 为 #t。

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    2. \n
  2. \n

    eternity

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    (eternity (quote ())) 不会返回值，根本停不下来，这时 will-stop? length 显然是 #f。

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    3. \n
  3. \n

    last-try

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    定义 last-try：

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    (define last-try\n  (lambda (x)\n    (and (will-stop? last-try)\n        (eternity x))))
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    (last-try (quote ())) 的值也就是 (and (will-stop? last-try) (eternity (quote ()))) 的值。考虑以下两种情况：

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    4. \n
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所以对于 will-stop?，如果我们能够定义它，那么它必然会生成 #t 或 #f；但是上面的例子告诉我们有时这是做不到的。要定义清楚 will-stop? 就必须意味着它无法被定义。说人话就是我们写不出 will-stop? 这样的函数。详见停机问题。

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Y 组合子

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本章的余下内容在构造 Y 组合子，即大名鼎鼎的 Y Combinator。我看了好几遍，查了一堆资料，才懂了个大概，感觉值得单独写一篇文章来详细叙述，把「The Little Schemer」第九章的论述方法用自己的理解再写一遍。

","frontmatter":{"title":"The Little Schemer 知识点整理（九）：……周而复始……","date":"2019 年 01 月 24 日","description":"这一章介绍了“非一般性”递归，这样的递归可能会使函数进入无限循环或者引发悖论，比如“停机问题”。然后讨论了在函数无法被定义（名字）的情况下如何实现递归，即 Y 组合子。"}}},"pageContext":{"slug":"/the-little-schemer-summary-9/","previous":{"fields":{"slug":"/the-little-schemer-summary-8/"},"frontmatter":{"title":"The Little Schemer 知识点整理（八）：Lambda 终结者"}},"next":{"fields":{"slug":"/recursive-to-y-combinator/"},"frontmatter":{"title":"从递归到 Y 组合子"}}}}}